Tuesday, June 17, 2014

Matemáticas del sonido, ondas, oscilaciones, construyendo el concepto de vibración

Recientemente me he tenido que meter a un poco de temas de análisis de fourier y cosas de señales de audio, por lo que se me hizo justo el tener que regresar algo del conocimiento a mi blog.

Pero pues aquí siempre trato de poner lo que sea más interesante para el público, tratando de no llegar a cosas muy abstractas (aunque a veces no me aguanto) , pero pues hoy lo que haremos es tratar de ver el por qué el sonido se ve como una onda.


Todo el mundo hemos escuchado que el sonido es debido a vibraciones, es decir, la música está compuesta de vibraciones.

Por ejemplo los músicos (y los aficionados como yo) utilizamos una cosa que se llama diapasón, el cual es un como tenedor que al golpearlo generará vibraciones que harán que aire se mueva y producirá una onda, pero... ¿por qué digo esto? , ¿cuál onda? , ¿qué forma tiene la onda?

Este es un diapasón por si no lo conocen, generalmente vibra a una frecuencia de 440HZ para producir una nota musical que se llama "LA" (4) , eso de los 440 HZ es simplemente que en 1 segundo produce 440 sucesos que trataremos de explicar ahora mismo.




Entonces ¿Por qué vibra el diapasón?


La respuesta es con pura física y matemática simple, cuando le pegas a un diapasón, éste se deforma y después existe otra fuerza que lo regresa a su posición original.

Pero esto tiene inercia y también se deforma en la posición contraria y regresa y otra vez a la posición original, et cétera... y continúa en el tiempo hasta que la oscilación eventualmente termina.

Mientras el diapasón está oscilando, éste está empujando al aire, la presión de las ondas es lo que llega a nuestro oído.

El resultado del sonido depende de dos factores, es el balance de la fuerza que hace que vuelva a su posición original para estar en equilibrio y la inercia que hace que se doble hacia el otro lado y regrese y se doble, es decir que se "exceda" la deformación de manera contraria.

Veamos este dibujito, que nos muestra a qué me refiero con la deformación y la posición del diapasón.

Mi meta en este post es hacer ver y explicar cómo vibra el diapasón cuando lo golpeas



El desplazamiento del diapazón al golpearlo lo denotaremos por $latex x$ , con propósitos de hacer esto lo más simple posible, supón que la fuerza que tiende a dejar el diapasón en su posición original es PROPORCIONAL al desplazamiento del diapazón al golpearlo... es decir a $latex x$, claramente esta fuerza es negativa ya que es la fuerza contraria con la que le pegamos al diapazón con el martillo.

Entonces lo que tenemos aquí es que cuando el diapasón es empujado en la dirección positiva $latex x$ la fuerza que estamos tratando de modelar lo "jala" en la dirección negativa $latex -x$ por lo tanto:


$latex F=-kx$


Donde $latex F$ es la fuerza de restauración del diapasón (también le podemos decir elasticidad ya que mide la fuera en que deformándose vuelve a su posición original) y $latex k$  es la variable de proporcionalidad que acabamos de explicar, y es negativa también por lo que acabamos de explicar.

Pero todos en la secundaria aprendimos la segunda ley de Newton, que nos dice que "Fuerza es igual a masa por aceleración"  $latex F=ma$ donde $latex m$ es la masa del diapasón y $latex a$ es la aceleración.

Entonces tenemos ahora que $latex -kx = ma$

Como nosotros queremos saber la mecánica del diapasón, , lo único que hemos derivado es la relación que hay entre la posición y la aceleración... parecería que es suficiente, pero ¿dónde están las ondas? , ¿dónde están las frecuencias?


Recordemos que también en la prepa nos enseñaron que en términos de física la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo es la aceleración, es decir en símbolos, podemos reescribir la ecuación $latex -kx=ma$ sustituyendo la aceleración y despejando:


$latex \frac{d^{2}x}{dt^2}=-(kx/m)=-\frac{k}{m}x$


Esta ecuación ya se ve con más forma, tenemos que resolverla ya que de hecho esta ecuación ya nos da movimiento


Lo que nos dice esta ecuación es que necesitamos una función $latex x(t)$ (que depende del tiempo) que sea proporcional a su segunda derivada.

En otras palabras... queremos encontrar una función $latex x(t)$ que derivándola dos veces nos de la misma función $latex x(t)$ multiplicada por $latex -\frac{k}{m}$ es decir nos dé   $latex -\frac{k}{m}x(t)$

¿Creo que ya vamos viendo qué onda no?, para aquellos que llevaron cálculo  es fácil intuir cuál es esta función.

En la prepa aprendimos que:

$latex \frac{d}{dt}sen(\omega t) = \omega cos(\omega t)$

y que:

$latex \frac{d}{dt}cos(\omega t) = -\omega sen(\omega t)$

Aquí a este $latex \omega$ algunos lo conocieron como frecuencia de oscilación, ya que el variar esta $latex \omega$ cambia el periodo del seno y coseno, es decir, modificar esta $latex \omega$ hace que salgan más o menos crestas y valles en la onda en un mismo intervalo de tiempo.


Si calculamos la aceleración de $latex sen(\omega t)$ y de $latex cos(\omega t)$ tenemos que:


$latex \frac{d^2}{dt^2}sen(\omega t)=-\omega^2 sen(\omega t)$

y

$latex \frac{d^2}{dt^2}cos(\omega t)=-\omega^2 cos(\omega t)$


Donde pueden ver que hemos encontrado la función (las funciones) que cumplen el diapasón, ya que su segunda derivada nos da si misma por una constante negativa.

Pero realmente la solución en términos prácticos es única, el coseno y el seno no son más que una versión "atrasada" del otro por lo que generalmente la solución general a este problema se le llama sinusoide.


Para que la ecuación del diapasón esté completa, basta sólamente observar que nuestra primera relación se satisface perfectamente si $latex \frac{-k}{m}=-\omega^2$ eso quiere decir que:

$latex \omega=\sqrt{k/m}$


Esta ecuación que acabamos de construir es la del movimiento armónico simple, y en muchos problemas de oscilación aparece como primera aproximación, por ejemplo un péndulo o en cualquier situación donde la fuerza de restauración del objeto es proporcional al desplazamiento que provocó la fuerza en él.




Ahora... observando que $latex \omega=\sqrt{k/m}$ recuerda que $latex \omega$ es la frecuencia de la oscilación... te dice qué tan rápido el diapasón está vibrando... cuando el tiempo $latex t$ está cambiando por $latex 2\pi/\omega$ el argumento $latex \omega t$ cambia por $latex 2\pi$ radianes, y el seno o coseno pasa por un ciclo completo, esto quiere decir que el periodo de la vibración es $latex 2\pi/\omega$.

Entre más grande sea la frecuencia $latex \omega$ más chico será el periodo (inversamente proporcionales).


Recuerden que $latex m$ es la masa del diapasón, y si está es muy grande entonces la frecuencia será menor (jueguen con los números) , lo cual confirma lo intuitivo de la vida, sabemos que los objetos con mas masa vibran menos, y se oyen menos.

También la misma ecuación $latex \omega=\sqrt{k/m}$ nos dice que entre más grande sea $latex k$ que es la constante de restauración, es más grande la frecuencia de la vibración... esto también hace sentido, piensen en la cuerda de una guitarra.

En pocas palabras lo que nos dice todo esto es que la frecuencia de una vibración es proporcional a la raíz cuadrada de $latex k/m$ es decir para doblar la frecuencia de un diapasón, necesitaríamos 4 veces más masa.


Esta proporcionalidad entre frecuencia y oscilación con la raíz cuadrada de la razón entre la masa y la elasticidad (k) y la medida de la inercia es un fenómeno muy general que sucede en muchísimas situaciónes y es muy importante en física.

Como dijimos hace rato el coseno y el seno son lo mismo pero uno más atrasado que el otro... de hecho

$latex cos(\omega t)=sen(\omega t + \pi/2)$

Es decir... el seno y el coseno difieren en fase por el ángulo $latex \pi/2$

Es fácil ver diferenciando que la ecuación que calculamos al principio:

$latex \frac{d^{2}x}{dt^2}=-(kx/m)=-\frac{k}{m}x$

Se satisface con seno o coseno en cualquier fase, sólo deriva dos veces:

$latex x(t)=sen(\omega t+\phi)$  


y verás que siempre obtendrás $latex -\omega^2 x(t)$ para cualquier valor de $latex \phi$


La fase relativa $latex \phi$ realmente es arbitraria y está determinada por la posición del origen del tiempo, para ver esto , sólamente desplaza el tiempo por un factor $latex \tau$  y verás a que llegas a la misma $latex \phi$ , en símbolos

$latex sen[\omega(t+\tau)]=sen[\omega t + \omega \tau ] = sen[\omega t + \phi]$

Esta trivialidad sólo es para mostrar que el recorrer el tiempo por $latex \tau$ resulta en recorrer por un arbitrario $latex \phi=\omega \tau$, es decir al momento de desplazar el tiempo siempre TODAS las sinusoides tienen la misma FORMA.

Matemáticamente es que el conjunto de todos los sinusoides en una frecuencia física está cerrado bajo desplazamiento de tiempo, si lo vemos en su gráfica vemos que  la forma de un sinusoide siempre es la misma sin importar cuándo la observemos, los sinusoides en la misma frecuencia también están cerrados bajo adición y eso lo veremos después que es el principio de todo el análisis de señales y de mostrar que toda señal es suma de senos y cosenos.


Espero les haya servido

Eduardo Ruiz Duarte (beck)
twitter: @toorandom






2 comments:

Ricardo Serrano Salazar said...

Hola Beck, el concepto está bien, pero es más complicado que eso. -kx es para un resorte, ojalá todo fuera la fórmula para un resorte. Para una viga, funciona así:

http://ruina.tam.cornell.edu/Courses/ME4730/Rand4770Vibrations/BeamFormulas.pdf

Si ves, el diapasón no es una línea recta cuando lo deformas un poco, tampoco lo es cuando le pegas con el martillo, es una curva, mientras más lejos, es más curvo. Ahora, esto también complica las relaciones de inercia, que también tienen que ser formuladas en un continuo.

Ahí entonces toca formular una ecuación diferencial, pero está muy temprano y me da hueva. En todo caso sería de la forma:

K U + M Ü = f.

Atentamente
Ricardo.

beck said...

Ricardo, sí lo entiendo, de hecho sé que no es así por eso dije que ibamos a suponer que la fuerza de recuperación de la forma era directamente proporcional al desplazamiento, eso que explique es un armonico simple pero ayuda a llegar a la definición de onda.

Gracias por el comentario