Tuesday, November 25, 2014

Teorema de Hasse para curvas elípticas, núcleo de la demostración pero desde el twist cuadrático de la curva 1/2

Vamos a explorar un teorema que es una consecuencia directa de las Conjeturas de Weil demostradas por Pierre Deligne, si nos da tiempo veremos un sketch de como demostrar las conjeturas de André Weil en general.

El teorema de Hasse es muy importante en criptografía con curvas elípticas, ya que nos permite aproximar o incluso saber el número de elementos que tiene el grupo que forma una curva elíptica, este número de elementos en función del tamaño del campo finito, esto tiene aplicaciones a la ingeniería en la implementación, y también nos puede decir, si la curva es segura o no , es decir que su grupo no sea isomorfo a algo trivial.

El problema de la demostración de Helmut Hasse en 1936 es que es muy larga y complicada, aquí trataremos de dar los elementos necesarios, pero también extenderemos el teorema a otro espacio el cual nos permitirá analizar la estructura desde los endomorfismos de la curva.

Primero, trabajemos en un campos $latex \mathbb{F}_q$ con $latex q$ impar y con la forma de una curva elíptica $latex E$ en su forma reducida de Weierstrass, es decir $latex y^2 = x^3 + Ax + B$ , pero esta forma reducida de Weierstrass tiene el problema de que $latex j(E)=1728\equiv 0$ mod $latex 3$ lo que nos limita a trabajar con cierta familia (0) de curvas en característica 3, necesitamos que el $latex j$ invariante tome todos los valores de $latex \mathbb{F}_q$ entonces consideraremos las curvas $latex y^2 = x^3 + a_{2}x^2 + a_{4}x + a_6$ , pueden demostrar que el $latex j$ invariante de esta curva ya cubre todas las curvas elípticas de característica impar.

El teorema de Hasse dice.

Teorema (Helmut-Hasse, 1936): Sea $latex E$ una curva elíptica sobre un campo
$latex \mathbb{F}_q$, si $latex N_q$ representan el número de puntos de $latex E$ sobre $latex \mathbb{F}_q$ entonces:

$latex \mid N_q-(q+1)\mid \leq 2\sqrt{q}$

Este teorema se ve muy infensivo, pero no lo es... de hecho de manera preliminar podríamos comenzar a atacarlo

Si la ecuación de $latex E$ es $latex y^2 = x^3 + Ax +B =f(x)$ y $latex q$ es impar, entonces vamos a

suponer que el número de puntos que cumplen $latex f(x)$ están distribuidos uniformemente al ser evaluado $latex f$  $latex \forall x\in \mathbb{F}_q$ , por lo que tenemos que hay una raíz que es un punto de $latex E$ y como $latex q$ es impar, existen $latex \frac{q-1}{2}$ elementos que no son cuadrados en $latex \mathbb{F}^{*}_q$  lo que nos deja con los otros $latex \frac{q-1}{2}$ puntos que sí son cuadrados, pero hay 2 por cada uno ya que en $latex E$  tenemos $latex (\pm y)^2$ por lo que el valor esperado de $latex N_q$ es   $latex 1+2\frac{q-1}{2}=q$

Esto nos da la desviación de $latex N_q$ y nos muestra la parte izquierda de la desigualdad de hasse que es $latex \mid N_q-(q+1)\mid$ donde el $latex +1$ es porque se consideran los puntos de $latex \mathbb{F}_q$ sobre la linea proyectiva la cual tiene otro punto adicional en el infinito.

Teoría necesaria.

En el post anterior hablamos del anillo de endomorfismos de una curva, el j-invariante e isogenias.
Te recomiendo lo leas antes, aquí recordaremos algunas cosas pero si crees que falta algo, el artículo anterior tiene más detalles.




Sean $latex E_1, E_2$ dos curvas elípticas definidas sobre $latex \mathbb{K}$ y $latex \psi:E_1\rightarrow E_2$ un homomorfismo separable de curvas elípticas, es decir... que si consideramos el functor contravariante $latex \psi^{*}:\mathbb{K}(E_2)\rightarrow \mathbb{K}(E_1)$ que manda $latex f\mapsto f\circ \psi$ entonces $latex \mathbb{K}(E_1)/\psi^{*}\mathbb{K}(E_2)$ es una extensión de campos separable (i.e. los polinomios minimos de elementos de el campo grande con coeficientes en el campo chico no tienes raíces repetidas) , y definimos el grado del mapeo $latex \psi$ como:  $latex \partial\psi=[\mathbb{K}(E_1):\psi^{*}\mathbb{K}(E_2)]$



Motivación de la demostración de Hasse

Sea $latex \psi:E_1 \rightarrow E_2$ un morfismo separable entre curvas elípticas, tenemos que $latex \partial \psi=\sum_{P\in \psi^{-1}(Q)}e_{\psi}(P)$  $latex \forall Q\in E_2$ con $latex e_\psi(P)=\nu_P(\psi^{*}t_{\psi(P)})$ el índice de ramificación [Silverman II , 2.6a], ahora, si usamos [Silverman III 4.10 a,c] tenemos que $latex \psi$ es separable $latex \Rightarrow \psi$ no tiene ramificación lo que implica que $latex e_{\psi}(P)=1$, y como $latex \psi(P+Q)=\psi(P)+\psi(Q)$ es un homomorfismo de grupos tenemos que $latex \psi^{-1}(\infty_{E_2}) = Ker\psi \Rightarrow$  $latex \partial \psi=\sum_{P\in Ker\psi}e_\psi(P) = \sum_{P\in Ker\psi}1 =$ #$latex Ker\psi$


Sabiendo esto, podemos deducir algo interesante sobre la cardinalidad de la curva elíptica $latex E$, si usamos [Silverman III, 5.5] tenemos que si $latex \phi:E\rightarrow E$ es el endomorfismo de Frobenius que actúa en las coordenadas de los puntos elevándolos a la $latex q$ entonces el mapeo
$latex Id-\phi$ es separable y tenemos que $latex \phi(P)=P \Leftrightarrow P\in E(\mathbb{F}_q)$ y usando el párrafo anterior, $latex Ker(Id-\phi)$ consta de todos los puntos $latex \mathbb{F}_q$ racionales de la curva ya que se anulan con la identidad, lo que nos dice que $latex Ker(Id-\phi)=E(\mathbb{F}_q)$ por lo que igual con el párrafo anterior, $latex \partial(Id-\phi)=$#$latex E(\mathbb{F}_q)$



Me he tardado en escribir en mi blog, pero por ahora dejo sólo esta parte, después vamos a terminar la demostración, pero falta relacionar los morfismos de la curva elíptica con elementos de una torcedura cuadrática de la curva, y con eso, construiremos $latex Id-\phi$ pero visto desde puntos en otra curva definida sobre $latex \mathbb{F}_q(s,t)$ tal que $latex s^2 = f(t)$ es decir la misma curva $latex E$ será  $latex E^{TW}: f(t)y^2 = f(x)$ y los puntos equivalentes a la identidad y el mapeo de frobenius ahí serán $latex (t,1)$ y $latex (t^q,s^{\frac{q-1}{2}})$ , pero esto será después de establecer este isomorfismo $latex Mor_{\mathbb{F}_q}(E,E) \cong E^{TW}(\mathbb{F}_q(s,t)) \cong E(\mathbb{F}_q(s,t))$ el cual nos permitirá calcular la cardinalidad del Kernel que necesitamos mediante otra función entre puntos sobre la curva con puntos en el campo de funciones racionales utilizando el grado de los puntos Id y Frobenius (los puntos ya no son numeros... son cocientes de polinomios en la torcedura cuadrática).


Espero les haya servido.

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